술어와 한정기호

술어

 

"x는 3보다 크다."라는 문장을 보자. 이 문장은 두 부분으로 구성된다. 문장의 주어에 해당하는 "x", 그리고 술어(predicate)에 해당하는 "3보다 크다"가 있다.

 

문장 "x는 3보다 크다"라는 문장은 $P(x)$라고 표시할 수 있다. $P$는 술어를 , $x$는 변수를 나타낸다. $P(x)$는 명제함수(propositional function) $P$에서 $x$의 값이라고도 한다. 명제함수는 정의역(domain)에서 변수에 값이 할당되면 $P(x)$는 명제가 되고 진리값, 즉 참과 거짓을 판단할 수 있게 된다.

 

예) $P(x)$가 $x>3$일 때, $P(4)$의 진리값은 참이 된다.

 

n개의 변수를 포함하는 명제함수는 $P(x_1, x_2, ..., x_n)$으로 표시하고, $P$를 n-변수 술어(n-place predicate) 또는 n-항 술어(n-ary predicate)라고 한다. 

 

 

한정기호

 

전칭 한정기호(universal quantifier)

$P(x)$의 전칭 한정이란 "정의역에 속하는 $x$의 모든 값에 대하여 $P(x)$이다"라는 문장이다. 이를 $\forall xP(x)$라 표기하고, $\forall$을 전칭 기호라 한다. "for all x, $P(x)$", "for every x, $P(x)$"라 읽는다.

 

존재 한정기호(existential quantifier)

$P(x)$의 존재 한정이란 "정의역에 속하는 적어도 하나의 값 $x$에 대하여 $P(x)$이다."라는 문장이다. 이를 $\exists xP(x)$라 표기하고, $\exists$를 존재 기호라 한다. "for some $x$, $P(x)$", "There is an $x$ such that $P(x)$"라 읽는다.

 

유일 한정기호(uniqueness quantifier) 

$\exists! xP(x)$ 또는 $\exists _1xP(x)$로 표기한다. 

"There exists a unique $x$ such that $P(x)$ is ture," 즉 "$P(x)$가 참이 되는 $x$는 유일하게 존재한다."를 의미한다.

 

한정기호에 대한 드 모르간 법칙(De Morgan's Laws)

 

부정	동치 표현
$\neg \exists xP(x)$	$\forall x\neg P(x)$
$\neg \forall xP(x)$	$\exists x\neg P(x)$

 

한정기호를 부정하면 "모든"은 "어떤"으로 바뀐다.