명제(proposition) |
참 또는 거짓 중 하나를 나타내는 선언적 문장이다.
명제인 예:
-
미국의 수도는 워싱턴 D.C이다.
-
캐나다의 수도는 토론토이다.
명제가 아닌 예:
-
몇 시입니까?
-
이것을 주의 깊게 읽어라.
명제를 표현하는 변수를 p, q, r, s 등 문자로 나타낸다.
명제의 진리값(truth value)이 참일 때는 T, 거짓일 때는 F로 나타낸다.
더 나누어질 수 없는 명제는 단순명제이다.
부정(negation)
p가 명제라 하면 p의 부정은 ¬p or ˉp로 나타내고, "It is not the case that p."의 문장이 된다.
<진리표>
p | ¬p |
T | F |
F | T |
논리곱(conjunction)
p와 q가 명제라 하면 p∧q 로 나타내는 p와 q의 논리곱은 명제 "p and q"이다.
p, q가 모두 참일 때만 참이다.
<진리표>
p | q | p∧q |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | F |
논리합(disjunctiuon)
p와 q가 명제라 하면 p∨q로 나타내는 p와 q의 논리합은 명제 "p or q"이다.
p, q 중 하나만 참이면 참이다.
<진리표>
p | q | p∨q |
T | T | T |
T | F | T |
F | T | T |
F | F | F |
배타적 논리합(exclusive disjunction)
p와 q가 명제라 하면 p⊕q로 나타내는 p와 q의 논리합은 명제 "p exclusive-or q"이다.
p, q 중 어느 하나만 참이면 참이다.
<진리표>
p | q | p⊕q |
T | T | F |
T | F | T |
F | T | T |
F | F | F |
조건문(함축, implication) |
p와 q가 명제라 하면 조건문 p→q는 명제 "if p, then q"이다. p를 가정(전제, 전항)이라 하고 q를 결론(결과)라고 한다.
다음처럼 여러 형태로 표현된다.
if p, then q. (p이면 q이다)
p implies q. (p는 q를 함축한다)
p only if q. (q일 경우에만 p이다)
a sufficient condition for q is p. (q의 충분조건은 p이다)
a necessary condition for p is q. (p의 필요조건은 q이다)
<진리표>
p | q | p→q |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
역(converse), 대우(contrapositive, 이(inverse) |
조건문 p→q로부터
q→p를 p→q의 역,
¬q→¬p를 p→q의 대우,
¬p→¬q를 p→q의 이라고 한다.
동치(equivalent) |
두 개의 복합명제가 항상 같은 진리값을 가질 경우 이들을 동치라 한다.
명제 p→q와 명제 p→q의 대우 ¬q→¬p는 서로 동치다.
명제 p→q의 역 q→p과 이¬p→¬q는 서로 동치다.
상호 조건문(biconditional) |
p와 q가 명제라 하면 조건문 p⟺q는 명제 "p if and only if q"이다. p와 q가 동일한 진리값을 가질 때 참이다.
<진리표>
p | q | p⟺q |
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | T |
참고자료
Rosen의 이산수학 8판
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